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Jézéquel, Tiphaine. Formes normales de champs de vecteurs : restes exponentiellement petits dans le cas non autonome périodique et orbites homoclines à plusieurs boucles au voisinage de la résonance 02iw Hamiltonienne

Jézéquel, Tiphaine (2011) Formes normales de champs de vecteurs : restes exponentiellement petits dans le cas non autonome périodique et orbites homoclines à plusieurs boucles au voisinage de la résonance 02iw Hamiltonienne.

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Résumé en francais

Dans cette thèse on s'intéresse à deux problèmes faisant intervenir des formes normales de champs de vecteurs et des phénomènes exponentiellement petits. Dans le premier chapitre on démontre tout d'abord deux théorèmes de normalisation avec restes exponentiellement petits pour des champs de vecteurs analytiques au voisinage d'un point d'équilibre, dans le cas non autonome périodique. Le premier théorème de normalisation permet de construire une quasi-variété invariante à un exponentiellement petit près, tandis que le deuxième met le champ de vecteur sous la forme normale de Elphick-Tirapegui-Brachet-Coullet-Iooss à un exponentiellement petit près. Dans le deuxième chapitre on travaille près d'un point d'équilibre d'une famille de systèmes hamiltoniens au voisinage d'une résonance 0²iw. On démontre l'existence d'une famille d'orbites périodiques entourant l'équilibre puis l'existence d'orbites homoclines à plusieurs boucles à chacune de ces orbites périodiques, aussi proche de cet équilibre que l'on veut à l'exception de l'équilibre lui-même. La démonstration est basée sur la preuve d'un théorème de forme normale hamiltonien inspiré des formes normales de Elphick-Tirapegui-Brachet-Coullet-Iooss ainsi que sur une normalisation locale hamiltonienne s'appuyant sur un résultat de Moser. On obtient ensuite le résultat grâce à des arguments géométriques liés à la petite dimension et à un théorème KAM qui permet de confiner les boucles. Pour le même problème dans le cadre d'un champ de vecteurs réversible non hamiltonien, l'apparition d'exponentiellement petits lors de la perturbation de l'orbite homocline de la forme normale empêche la démonstration de l'existence d'orbites homoclines à des orbites périodiques de taille exponentiellement petite. Le même phénomène apparait ici mais l'obstacle est contourné grâce à des arguments géométriques spécifiques aux système hamiltoniens.

Sous la direction du :
Directeur de thèse
Lombardi, Eric
Ecole doctorale:Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)
laboratoire/Unité de recherche :Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219
Mots-clés libres :Formes normales - Phénomènes exponentiellement petits - Variétés invariantes - Gevrey - Résonance 02iw - Systèmes hamiltoniens - Orbites homoclines à plusieurs boucles - Ondes solitaires généralisées - KAM - Théorème de Liapunoff
Sujets :Mathématiques
Déposé le :19 Dec 2011 10:50