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Audoux, Benjamin. Généralisation de l'homologie de Heegaard-Floer aux entrelacs singuliers & Raffinement de l'homologie de Khovanov aux entrelacs restreints

Audoux, Benjamin (2007). Généralisation de l'homologie de Heegaard-Floer aux entrelacs singuliers & Raffinement de l'homologie de Khovanov aux entrelacs restreints.

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Résumé en francais

La catégorification d'un invariant polynomial d'entrelacs I est un invariant de type homologique dont la caractéristique d'Euler gradue est égale à I. On pourra citer la catégorification originelle du polynôme de Jones par M. Khovanov ou celle du polynôme d'Alexander par P. Ozsvath et Z. Szabo. Outre leur capacité accrue à distinguer les noeuds, ces nouveaux invariants de type homologique semblent drainer beaucoup d'informations d'ordre géométrique. D'autre part, suite aux travaux de I. Vassiliev dans les années 90, un invariant polynomial d'entrelacs peut être étudié à l'aune de certaines propriétés, dites de type fini, de son extension naturelle aux entrelacs singuliers, c'est-à-dire aux entrelacs possédant un nombre fini de points doubles transverses. La première partie de cette thèse s'intéresse aux liens éventuels entre ces deux procédés, dans le cas particulier du polynôme d'Alexander. Dans cette optique, nous donnons d'abord une description des entrelacs singuliers par diagrammes en grilles. Nous l'utilisons ensuite pour généraliser l'homologie de Ozsvath et Szabo aux entrelacs singuliers. Outre la cohérence de sa définition, nous montrons que cet invariant devient acyclique sous certaines conditions annulant naturellement sa caractéristique d'Euler. Ce travail s'insère dans un programme plus vaste de catégorification des théories de Vassiliev. Dans une seconde partie, nous nous proposons de raffiner l'homologie de Khovanov aux entrelacs restreints. Ces derniers correspondent aux diagrammes d'entrelacs quotientés par un nombre restreint de mouvements de Reidemeister. Les tresses fermées apparaissent notamment comme sous-ensemble de ces entrelacs restreints. Un tel raffinement de l'homologie de Khovanov offre donc un nouvel outil pour une étude plus ciblée des noeuds et de leurs déformations.

Sous la direction du :
Directeur de thèse
Fiedler, Thomas
Ecole doctorale:Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)
laboratoire/Unité de recherche :Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219
Mots-clés libres :mathématiques - topologie en petite dimension - théorie des noeuds - catégorification - entrelacs singuliers - entrelacs restreints - homologie de Heegaard-Floer - homologie de Khovanov
Sujets :Mathématiques
Déposé le :24 Jun 2008 15:10