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Hillion, Erwan. Analyse et géométrie dans les espaces métriques mesurés : inégalités de Borell-Brascamp-Lieb et conjecture de Olkin-Shepp

Hillion, Erwan (2010) Analyse et géométrie dans les espaces métriques mesurés : inégalités de Borell-Brascamp-Lieb et conjecture de Olkin-Shepp.

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Résumé en francais

Les travaux menés durant cette thèse sont basés sur la théorie des espaces de longueurs mesurés à courbure de Ricci uniformément minorée initiée par Sturm, Lott et Villani, utilisant de profonds résultats venant de la théorie du transport optimal. Dans une première partie, nous étudions deux familles d'inégalités fonctionnelles, dites de Prékopa-Leindler et de Borell-Brascamp-Lieb, et montrons qu'elles permettent de donner une définition alternative aux bornes sur la courbure de Ricci, satisfaisant un cahier des charges similaire à celui rempli par la condition CD(K,N) de Sturm, Lott et Villani. La seconde partie est consacrée à la recherche d'une généralisation de la définition de Sturm-Lott-Villani au cadre des espaces discrets. Un accent particulier est mis sur le problème de la translation de mesures de probabilité sur un graphe linéaire, et à l'étude de la convexité de l'entropie le long d'une telle translation. L'expression d'une telle translation sous forme d'un convolution binomiale a permis d'éclairer sous un nouvel angle une conjecture formulée par Olkin et Shepp, relative à l'entropie des sommes de Bernoulli indépendantes, et de la démontrer dans un cas particulier.

Sous la direction du :
Directeur de thèse
Ledoux, Michel
Ecole doctorale:Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)
laboratoire/Unité de recherche :Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219
Mots-clés libres :Courbure de Ricci - Transport optimal - Entropie relative - Conjecture de Olkin-Shepp - Inégalités fonctionnelles - Somme de variables de Bernoulli indépendantes
Sujets :Mathématiques
Déposé le :27 Aug 2012 13:17