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Bugeaud, Virginie. Groupe de Galois local des équations aux q-différences irrégulières

Bugeaud, Virginie (2012) Groupe de Galois local des équations aux q-différences irrégulières.

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Résumé en francais

Le but de cette thèse est d'étudier des équations aux q-différences irrégulières et d'obtenir des descriptions matricielles explicites du groupe de Galois local. La description du groupe de Galois local des équations à pentes entières est due à Ramis et Sauloy, elle s'est faite grâce à l'étude de la classification analytique locale par Ramis, Sauloy et Zhang, qui a conduit à la forme normale de Birkhoff-Guenther, et grâce à la compréhension du phénomène de Stokes pour les équations aux q-différences. Sur la base des travaux de van der Put et Reversat sur les formes normales des modules purs isoclines à pentes non entières, nous poursuivons la classification analytique locale des modules aux q-différences. Le premier théorème de cette thèse concerne le cas à deux pentes non nécessairement entières : nous obtenons un isomorphisme entre l'espace des classes analytiques isoformelles et un quotient d'un espace des matrices à coefficients polynomiaux. Par le calcul de cocycles explicites dans le cas à deux pentes, nous obtenons également un isomorphisme entre l'espace des classes analytiques à deux pentes et le premier groupe de cohomologie du fibré associé. A partir de ces cocycles, nous calculons des opérateurs de Stokes, qui s'avèrent galoisiens, pour les modules aux q-différences à deux pentes. Un des principaux théorèmes en théorie de Galois de cette thèse est la description matricielle explicite du groupe de Galois local formel, défini par voie tannakienne. Ce théorème et le lien que l'on établit entre les opérateurs de Stokes que l'on a calculés et ceux de Ramis et Sauloy pour les pentes entières, nous permettent de construire un sous-groupe Zariski-dense du groupe de Galois local des équations aux q-différences dont le dénominateur des pentes est fixé.

Sous la direction du :
Directeur de thèse
Sauloy, Jacques
Ecole doctorale:Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)
laboratoire/Unité de recherche :Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219
Mots-clés libres :Q-différences - Classification analytique - Opérateurs de Stokes - Groupe de Galois
Sujets :Mathématiques
Déposé le :12 Nov 2012 10:37