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Penacchio, Olivier. Structures de Hodge mixtes et fibrés sur le plan projectif complexe

Penacchio, Olivier (2002) Structures de Hodge mixtes et fibrés sur le plan projectif complexe.

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Résumé en francais

Le développement de la théorie de Hodge a permis une compréhension plus profonde de nombreux invariants topologiques dans le cadre de la géométrie algébrique complexe. Dans ce travail de thèse, nous nous proposons de géométriser la notion de structure de Hodge mixte (SHM). Dans ce but, nous généralisons la construction de Rees et son inverse qui permettent d'associer anneaux gradués et anneaux filtrés par une chaîne d'idéaux. Nous établissons des équivalences entre catégories d'espaces vectoriels filtrés munies de morphismes strictement compatibles et catégories de faisceaux cohérents équivariants pour l'action d'un tore. Le fait que des filtrations soient opposées se traduit géométriquement par une condition de semi-stabilité forte des fibrés associés. Cette correspondance est appliquée pour exhiber une équivalence entre la catégorie des SHMs et une catégorie de fibrés vectoriels semi-stables sur le plan projectif complexe. Nous vérifions que cette dernière catégorie est abélienne, ce qui nous donne donc une démonstration géométrique du fait que la catégorie des SHMs est abélienne, un des points de départ de la théorie de Hodge mixtes, démontré par P.Deligne. Un nouvel invariant des SHMs, le niveau de R-scindement, est alors défini et ses propriétés sont étudiées. Cet invariant est calculé pour des SHMs sur les premiers groupes de cohomologie de courbes de genre 0 et 1 possiblement singulières et non-complètes. Nous étudions aussi une version relative de la correspondance pour l'appliquer aux variations de SHMs. Cette correspondance ne fonctionne que modulo une stratification adéquate de la base

Sous la direction du :
Directeur de thèse
Simpson, Carlos
Ecole doctorale:Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)
laboratoire/Unité de recherche :Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219
Mots-clés libres :Théorie de Hodge - Structures de Hodge mixtes - Variation de structure de Hodge mixtes - Fibré vectoriel
Sujets :Mathématiques
Déposé le :19 Nov 2012 11:26