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Dallaporta, Sandrine. Quelques aspects de l'étude quantitative de la fonction de comptage et des valeurs propres de matrices aléatoires

Dallaporta, Sandrine (2012). Quelques aspects de l'étude quantitative de la fonction de comptage et des valeurs propres de matrices aléatoires.

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Résumé en francais

Cette thèse est consacrée à l'étude quantitative de la fonction de comptage et des valeurs propres de matrices aléatoires. Initialement introduites dans le cadre de la physique statistique, ces matrices servent de modèles pour des opérateurs de dimension infinie. Leurs propriétés asymptotiques ont donc été particulièrement étudiées. Devenues populaires grâce au phénomène d'universalité, i.e. le fait que ces propriétés asymptotiques ne dépendent pas de la loi des coefficients de la matrice, leur étude a intéressé de nombreux domaines pour lesquels les propriétés à taille de matrice fixée sont plus exploitables que les propriétés asymptotiques. Nous nous sommes intéressés à ce pan de l'étude des matrices aléatoires par le biais de la fonction de comptage des valeurs propres, c'est-à-dire du nombre de valeurs propres d'une matrice présentes dans un intervalle I. Après avoir introduit les modèles de matrices aléatoires que nous étudions dans cette thèse, les matrices de Wigner et de covariance, nous présentons les principaux résultats asymptotiques en lien avec la fonction de comptage et plus globalement avec les valeurs propres de ces matrices. Les outils permettant d'établir ces résultats d'universalité sont ensuite détaillés. L'accent est mis sur ceux qui peuvent être utilisés dans le cadre de l'étude quantitative, notamment les résultats récents de Erdös et al. d'une part et de Tao et Vu d'autre part, qui ont permis une avancée spectaculaire des études asymptotiques et non asymptotiques. Nous discutons ensuite les enjeux de l'étude non asymptotique et présentons les travaux effectués durant cette thèse. Dans une première étude, nous établissons un théorème central limite pour la fonction de comptage des valeurs propres de matrices de Wigner et de covariance et nous obtenons des estimées quantitatives sur l'espérance et la variance de cette fonction de comptage. Ces résultats se basent sur les résultats précédemment établis par Gustavsson et Su dans le cas de matrices gaussiennes et sont étendus à des familles plus générales de matrices de Wigner et de covariance par le biais de travaux récents de Erdös, Yau et Yin, Pillai et Yin et de Tao et Vu. Dans une seconde étude, nous établissons des bornes quantitatives sur la variance des valeurs propres de matrices de Wigner. En s'appuyant sur les propriétés de la fonction de comptage, nous montrons d'abord une inégalité de déviation pour les valeurs propres individuelles à l'intérieur du spectre dans le cas de matrices gaussiennes et nous en déduisons les bornes dans ce cas. Afin d'étendre ces bornes au cas des matrices de Wigner plus générales, nous combinons de nouveau les outils de Erdös, Yau et Yin et de Tao et Vu. Nous établissons également des résultats analogues pour les matrices de covariance, en utilisant la même démarche.

Sous la direction du :
Directeur de thèse
Ledoux, Michel
Ecole doctorale:Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)
laboratoire/Unité de recherche :Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219
Mots-clés libres :Probabilités - Matrices aléatoires - Non asymptotique - Fonction de comptage
Sujets :Mathématiques
Déposé le :11 Mar 2013 09:48