Nasreddine, Elissar. Limite de diffusion de l'équation de Fokker-Planck avec un équilibre à décroissance lente : modèles d'agrégation en dynamique de populations

Résumé en francais

Ce mémoire se compose de deux parties. Dans la première partie, nous étudions la limite de diffusion de l'équation cinétique de type Fokker-Planck dans le cas particulier où les équilibres décroissent polynômialement en vitesse. Si le taux de décroissance est assez fort, nous démontrons que l'équation limite est une équation de diffusion. Cette étude utilise la méthode des moments dans des espace de Sobolev à poids. La seconde partie est consacrée à l'étude de deux modèles issus de la modélisation de l'agrégation en biologie. Tout d'abord, nous étudions le modèle de chimiotactisme de Keller-Segel. Nous considérons la version parabolique-elliptique du système de Keller-Segel avec une diffusion non linéaire critique et dégénérée. En utilisant la fonctionnelle de Liapunov, nous montrons l'existence d'une masse explicite en de ça de laquelle la solution existe globalement en temps. Ensuite, nous passons à l'étude du modèle de regroupement des individus introduit par Grindrod en 1988: nous nous intéressons à l'existence globale de la solution en dimension 1 et 2, en considérant deux choix différents du taux de reproduction. Nous précisons le comportement asymptotique de la solution. Ensuite nous étudions le comportement de la solution dans le cas où le mécanisme d'advection domine celui de diffusion, et plus particulièrement, dans le cas de diffusion évanescente.