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Le Gouic, Thibaut. Localisation de masse et espaces de Wasserstein

Le Gouic, Thibaut (2013). Localisation de masse et espaces de Wasserstein.

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Résumé en francais

Le travail de cette thèse est basé sur deux outils : le packing d'un ensemble et les espaces de Wasserstein. Une première partie s'intéresse à la localisation de la masse d'une mesure de probabilité Mu. Lorsque Mu est régulière, les ensembles de niveau de sa densité fournissent une bonne notion pour localiser les zones "denses" de masse, mais perdent leur sens pour les mesures à support fini, comme dans le cas de la mesure empirique. Nous définissons alors une fonction Tau dite de taille, sur les fermés d'un espace métrique, basée sur leur packing. Les ensembles de plus petite Tau-taille ayant une masse 1 − alpha donnée permettent de localiser les zones denses de Mu, même dans les cas irréguliers. Nous montrons que les ensembles de plus petite Tau-taille pour Mu et alpha fixés dépendent continuement de Mu et de alpha, pour la distance de Hausdorff. Nous en tirons une nouvelle méthode de quantification de Mu, robuste et stable. Une seconde partie s'intéresse à la distance de Wasserstein entre une probabilité mu et la mesure empirique associée. Nous obtenons une majoration non asymptotique de l'espérance de cette distance, dans la cadre d'un espace métrique quelconque. Une particularisation aux espaces de dimension finie permet de mettre en valeur la précision de cette majoration. Nous obtenons aussi dans le cas des mesures gaussiennes sur les espaces de Banach, de nouvelles majorations qui coïncident asymptotiquement avec celles des meilleurs quantifieurs possibles. À l'aide d'inégalités de concentration, nous établissons des bornes de déviations. Enfin, nous utilisons ces résultats pour définir des tests statistiques non asymptotiques et non paramétriques d'adéquation à une famille de lois. Une troisième partie s'intéresse au barycentre d'une famille finie de mesures de probabilité. La moyenne de Fréchet fournit une extension de la notion de barycentre aux espaces métriques, nous permettant de le définir sur les espaces de Wasserstein. Nous montrons son existence, puis, en étudions les propriétés de continuité en les mesures de probabilité. Nous discutons enfin de l'application pratique de ces résultats en agrégation de mesures empiriques et en mélange d'images.

Sous la direction du :
Directeur de thèse
Berthet, Philippe
Ecole doctorale:Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)
laboratoire/Unité de recherche :Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219
Mots-clés libres :Mesure empirique - Wasserstein - Localisation de masse - Packing d'ensemble - Barycentre - Clustering - Classification non supervisée - Transport optimal
Sujets :Mathématiques
Déposé le :07 Apr 2014 09:31