Mondal, Sugata. Small eigenvalues of hyperbolic surfaces

Résumé en francais

Une surface hyperbolique est une variete complete S de dimension 2 de courbure Sectionnelle egale a -1. Dans cette these on considere l'action du Laplacien de cette metrique. On appelle petite valeur propre toute valeur propre inferieure ou egale a 1/4 . Notre theme general de recherche est de borner le nombre de valeurs propres en fonction de la topologie de S lorsque S est d'aire finie. Un theoreme d'Otal-Rosas qui dit que le nombre de petites valeurs propres d'une surface hyperbolique de genre g est au plus 2g-2, confirmant une conjecture de Buser. Nous donnons une version quantitative de ce resultat en donnant la minoration {\lambda_{2g-2}}(S)> 1/4 +{\epsilon_0}(S) pour une fonction {\epsilon_0}(S) > 0 explicite qui ne depend que de la geometrie de S. Notre demonstration utilise des inegalites geometriques comme celle de Faber-Krahn ou celle de Cheeger. Il est conjecture d'autre part que pour une surface hyperbolique non compacte de type (g, n), le nombre de petites valeurs propres paraboliques est ><=2g- 3. Nous montrons que sur un ouvert non-vide de l'espace modulaire Mg;n, ce nombre de valeurs propres est <= 2g- 2. Notre demonstration est basee sur un theoreme decrivant le comportement d'une suite de petites fonctions propres paraboliques sur des surfaces Sm qui tendent vers le bord de l'espace modulaire, et qui est motive par des des resultats de Lizhen Ji et de Scott Wolpert. Nous utilisons aussi ce theoreme pour donner une demonstration nouvelle et elementaire d'un resultat de D. Hejhal. Dans le dernier chapitre, nous etudions le maximum de {\lambda_1} vue comme fonction sur Mg, plus precisement nous nous demandons si ce maximum est superieur a 1/4 . En utilisant des arguments topologiques, nous montrons que c'est bien le cas en genre 2 : il y a des surfaces dans M2 pour lesquelles {\lambda_1} > 1/4