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Di Nezza, Eleonora. Géométrie des équations de Monge-Ampère complexes sur des variétés kähleriennes compactes

Di Nezza, Eleonora (2014). Géométrie des équations de Monge-Ampère complexes sur des variétés kähleriennes compactes.

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Résumé en francais

Dans les années 70, Aubin-Yau ont résolu le problème de l'existence de metriques kaehleriennes à courbure de Ricci constante négative ou nulle sur les variétés kaehleriennes compactes. En particulier, ils ont prouvé l'existence et la régularité de la solution de l'équation de Monge-Ampére dollar dollar(\omega+dd^c\f)^n=f\omega^n dollar dollar où la forme dollar\omegadollar est kaehlerienne et la densitè dollar f dollar est lisse. Dans cette thèse on étudie les équations de Monge-Ampère dégénérées, où le mot "dégénérées" signifie ou bien que la classe de cohomologie est seulement grosse et non plus kaehlerienne, ou que les densités ont des singularités sur un diviseur. Si on considère une équation du type(*) (\theta+dd^c \f)^n= \mu où dollar\mu dollar est une mesure positive, il n'est pas toujours possible de donner un sens à la partie gauche de (*). Cependant, Guedj et Zeriahi ont observé que la construction par suite de Bedford et Taylor permet dans le cas global de définir la partie non-pluripolaire de la mesure positive dollar(\theta+dd^c\f)^ndollar pour toute fonction dollar\thetadollar-psh, où dollar\thetadollar est un represenant lisse dans la classe grosse. La notion de classes grosses est invariante par biméromorphisme tandis que ce n'est pas le cas dans le cadre des classes kaehleriennes. Donc, il est naturel d'étudier les propriétés d'invariance du produit non-pluripolaire dans le contexte de classes de cohomologie grosses. En effet, on montre que le produit non-pluripolaire est un invariant biméromorphe. En généralisant la fonctionnelle d'énergie de Aubin-Mabuchi, Boucksom, Eyssidieux, Guedj et Zeriahi ont introduit des énergies pondérés associées à des classes grosses. Sous certaines hypothéses naturelles, on démontre que ces énergies sont également des invariants par biméromorphisme. Nous étudions également les mesures de probabilité à énergie finie (ce concept était introduit par Berman, Boucksom, Guedj et Zeriahi) et prouvons que cette notion est un invariant biholomorphe mais pas biméromorphe. Par ailleurs, nous donnons des critères pour s'assurer qu'une mesure donnée est à énergie finie. Nous étudions ensuite les équations de Monge-Ampère sur les variétés quasi-projectives. En particulier, on considére une variété k\"ahlerienne compacte, dollarD\subset Xdollar un diviseur et on \'etudie l'\'equation dollar dollar(\omega+dd^c\f)^n=f\omega^n dollar dollar où dollar f dollar est lisse en dehors de dollar D dollar. Nous démontrons que l'unique solution dollar \f dollar (normalisée) est lisse en dehors de dollar D dollar (travail en collaboration avec Hoang Chinh Lu). La solution n'est pas bornée en general, et donc l'idée est de trouver la bonne fonction "modèle" (à priori singulière) qui est une borne inférieure de la solution. Pour faire celà on a introduit les capacités de Monge-Ampère generalisées, et on les a utlisé en suivant l'approche de Kolodziej, qui, cependant est valable pour les fonctions globalement bornées uniquement. Ces capacités, qui généralisent la capacité de Bedford et Taylor, s'avérent être le point clé pour étudier l'existence et la régularité des solutions des équations de Monge-Ampère du type dollar dollar\MA(\f)=e^{\lambda\f}f \omega^n, \qquad \lambda\in \R dollar dollar où dollar f dollar a des singularités le long d'un diviseur. Nous traitons aussi des cas où dollar f dollar n'est pas dans L^1, un problème important pour l'existence de metriques de Kaehler-Einstein singuliéres sur des variétés du type general avec singularités de type log-canoniques

Sous la direction du :
Directeur de thèse
Guedj, Vincent
Trapani, Stefano
Ecole doctorale:Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)
laboratoire/Unité de recherche :Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219
Mots-clés libres :Variété Kaehlerienne - Equationes de Monge-Ampère - Capacité - Classes grosses
Sujets :Mathématiques
Déposé le :28 Nov 2014 15:55