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Coulon Chalmin, Anne-Charline. Fast propagation in reaction-diffusion equations with fractional diffusion

Coulon Chalmin, Anne-Charline (2014). Fast propagation in reaction-diffusion equations with fractional diffusion.

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Résumé en francais

Cette thèse est consacrée à l'étude du comportement en temps long, et plus précisément de phénomènes de propagation rapide, des équations de réaction-diffusion de type Kisher-KPP avec diffusion fractionnaire. Ces équations modélisent, par exemple, la propagation d'espèces biologiques. Sous certaines hypothèses, la population envahit le milieu et nous voulons comprendre à quelle vitesse cette invasion a lieu. Pour répondre à cette question, nous avons mis en place une nouvelle méthode et nous l'appliquons à différents modèles. Dans une première partie, nous étudions deux problèmes d'évolution comprenant une diffusion fractionnaire : un modèle de type Fisher-KPP en milieu périodique et un système coopératif. Dans les deux cas, nous montrons, sous certaines conditions, que la vitesse de propagation est exponentielle en temps, et nous donnons une expression précise de l'exposant de propagation. Nous menons des simulations numériques pour étudier la dépendance de cette vitesse de propagation en la donnée initiale. Dans une seconde partie, nous traitons un environnement bidimensionnel, dans lequel le terme de reproduction est de type Fisher-KPP et le terme diffusif est donné par un laplacien standard, excepté sur une ligne du plan où une diffusion fractionnaire intervient. Le plan est nommé "le champ" et la ligne "la route", en référence aux situations biologiques que nous voulons modéliser. Nous prouvons que la vitesse de propagation est exponentielle en temps sur la route, alors qu'elle dépend linéairement du temps dans le champ. La forme des lignes de niveau dans le champ est étudiée au travers de simulations numériques.

Sous la direction du :
Directeur de thèse
Roquejoffre, Jean-Michel
Cabré, Xavier
Ecole doctorale:Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)
laboratoire/Unité de recherche :Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219
Mots-clés libres :Laplacien fractionnaire - Milieu périodique - Nonlinéarité de type Fisher KPP
Sujets :Mathématiques
Déposé le :24 Nov 2014 10:11