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Zribi, Olfa. Polynômes orthogonaux associés à la courbe deltoïde

Zribi, Olfa (2014). Polynômes orthogonaux associés à la courbe deltoïde.

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Résumé en francais

L'objet central de la thèse est l'étude des familles de polynômes orthogonaux associés à la courbe deltoïde (ou hypocycloïde de Steiner) dans le plan, et qui sont aussi vecteurs propres d'un opérateur différentiel de diffusion dans le plan. Ces polynômes orthogonaux sont liés au système de racines A2, aux groupes de symétries d'un réseau triangulaire plan, ainsi qu'aux spectres des matrices de SU(3). Nous donnons tout d'abord des formules de récurrence, des fonctions génératrices, ainsi que des représentations des polynômes dans quelques cas spéciaux. Nous nous intéressons ensuite aux inégalités de courbure-dimension satisfaites par l'opérateur associé, ce qui nous permet d'obtenir des bornes uniformes sur ces polynômes, ainsi que diverses caractérisations d'inégalités de Sobolev associées. Puis nous étudions les h-transformations, qui sont liées aux conditionnements des processus associés à rester dans un domaine donné. Nous montrons que de façon générale, lorsqu'un opérateur de diffusion a comme vecteurs propres des polynômes orthogonaux, il y a toujours des h-transformations explicites associées. Nous donnons bien sûr l'exemple de la deltoïde, mais aussi de nombreux autres exemples qui entrent dans ce cadre, certains classiques et d'autres moins. Enfin, nous nous intéressons aux propriétés d'hypergroupe associées à ces opérateurs. Ces propriétés d'hypergroupe permettent de décrire tous les noyaux markoviens associés aux polynômes. Nous montrons que cette propriété est satisfaite, sous une forme particulière, pour les polynômes associés au deltoïde, ce qui nous donne le premier exemple d'hypergroupe associé à un système de racines An.

Sous la direction du :
Directeur de thèse
Bakry, Dominique
Ouerdiane, Habib
Ecole doctorale:Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)
laboratoire/Unité de recherche :Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219
Mots-clés libres :Polynômes orthogonaux - Diffusions - Deltoïde - Inégalité courbure-dimension - H-transformations - Propriétés d'hypergroupe
Sujets :Mathématiques
Déposé le :20 Apr 2015 16:08