LogoLogo

Ahidar-Coutrix, Adil. Surfaces quantile : propriétés, convergences et applications

Ahidar-Coutrix, Adil (2015). Surfaces quantile : propriétés, convergences et applications.

[img]
Preview
PDF - nécessite un logiciel de visualisation PDF comme GSview, Xpdf or Adobe Acrobat Reader
5Mb

Résumé en francais

Dans la thèse on introduit et on étudie une généralisation spatiale sur $\R^d$ du quantile réel usuel sous la forme d'une surface quantile via des formes $\phi$ et d'un point d'observation $O$. Notre point de départ est de simplement admettre la subjectivité due à l'absence de relation d'ordre totale dans $\R^d$ et donc de développer une vision locale et directionnelle des données. Ainsi, les observations seront ordonnées du point de vue d'un observateur se trouvant à un point $O \in \R^d$. Dans le chapitre 2, on introduit la notion du quantile vue d'un observateur $O$ dans la direction $u \in \Sd$ et de niveau $\alpha$ via des des demi-espaces orthogonaux à chaque direction d'observation. Ce choix de classe implique que les résultats de convergence ne dépendent pas du choix de $O$. Sous des hypothèses minimales de régularité, l'ensemble des points quantile vue de $O$ définit une surface fermée. Sous hypothèses minimales, on établit pour les surfaces quantile empiriques associées les théorèmes limites uniformément en le niveau de quantile et la direction d'observation, avec vitesses asymptotiques et bornes d'approximation non-asymptotiques. Principalement la LGNU, la LLI, le TCLU, le principe d'invariance fort uniforme puis enfin l'approximation du type Bahadur-Kiefer uniforme, et avec vitesse d'approximation. Dans le chapitre 3, on étend les résultats du chapitre précédent au cas où les formes $\phi$ sont prises dans une classe plus générale (fonctions, surfaces, projections géodésiques, etc) que des demi-espaces qui correspondent à des projections orthogonales par direction. Dans ce cadre plus général, les résultats dépendent fortement du choix de $O$, et c'est ce qui permet de tirer des interprétations statistiques. Dans le chapitre 4, des conséquences méthodologiques en statistique inférentielle sont tirées. Tout d'abord on introduit une nouvelle notion de champ de profondeurs directionnelles baptisée champ d'altitude. Ensuite, on définit une notion de distance entre lois de probabilité, basée sur la comparaison des deux collections de surfaces quantile du type Gini-Lorrentz. La convergence avec vitesse des mesures empiriques pour cette distance quantile, permet de construire différents tests en contrôlant leurs niveaux et leurs puissances. Enfin, on donne une version des résultats dans le cas où une information auxiliaire est disponible sur une ou plusieurs coordonnées sous la forme de la connaissance exacte de la loi sur une partition finie.

Sous la direction du :
Directeur de thèse
Berthet, Philippe
Klein, Thierry
Ecole doctorale:Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)
laboratoire/Unité de recherche :Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219
Mots-clés libres :Quantile - Surfaces - Weak convergence - Strong approximation - Bahadur-Kiefer approximation - Altitudes/depth fields - Empirical process
Sujets :Mathématiques
Déposé le :11 Dec 2015 16:33