Mourareau, Stéphane. Gaussian geometry and tools for compressed sensing

Résumé en francais

Cette thèse s'inscrit dans le cadre de l'analyse statistique en grande dimension. Plus précisé- ment, l'objet de cette thèse est d'étudier la possible application d'outils issus de la théorie des processus Gaussiens afin de redémontrer certaines propriétés des matrices à entrées Gaussiennes et d'étendre certaines procédures de test du modèle linéaire Gaussien standard. Dans la première partie, nous nous concentrons sur les matrices Gaussiennes. Notre objectif est de démontrer, via des formules du type Kac-Rice, qu'une telle matrice satisfait, avec très grande probabilité, la Null Space Property (NSP) et la Propriété d'Isométrie Restreinte (RIP). De plus, nous déduisons des transitions de phases dépendant des paramètres classiques de la régression parcimonieuse, à savoir le nombre d'observations, le nombre de prédicteurs et le degré de sparsité. Dans la seconde partie, nous traitons le cas du test de nullité globale des paramètres pour le modèle linéaire Gaussien, afin de l'appliquer au cas de la sélection de modèle. Dans ces travaux, qui s'inscrivent dans la continuité de Taylor, Loftus et Tibshirani, nous proposons un test non conditionnel pour l'hypothèse de nullité globale dans le cadre du lasso et discutons autour de sa puissance. De plus, nous généralisons ces résultats aux processus Gaussiens, pour inclure, par exemple, la cas de la super-résolution. Dans une troisième partie, nous présentons quelques applications de la formule de Rice visantà calculer la fonction de répartition du maximum d'un processus Gaussien afin d'en déduire une version numériquement implémentable. Dans un deuxième temps, nous discutons de l'efficacité ou non de certaines approximations classiques pour la fonction de répartition du maximum. Enfin, nous étudions le comportement asymptotique du nombre de franchissements d'un niveau donné u sur un intervalle de temps [0,T] pour un processus Gaussien dérivable.