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Bouyrie, Raphaël. Influences, stabilité au bruit et déficit isopérimétrique pour des modèles continus et discrets

Bouyrie, Raphaël (2016). Influences, stabilité au bruit et déficit isopérimétrique pour des modèles continus et discrets.

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Résumé en francais

Les travaux menés dans cette thèse sont en lien avec les inégalités fonctionnelles et géométriques, dans le cadre continu et discret. En particulier, nous exploitons le principe de monotonie le long du flot de la chaleur, dont les conséquences ont été nombreuses en analyse, géométrie et probabilité depuis les travaux fondateurs de Bakry et Émery. Plus récemment, ce principe a été utilisé pour répondre à des questions d'informatiques théoriques via l'analyse des fonctions booléennes. Dans une première partie, nous présentons diverses inégalités à intégrales multiples et inégalités de type géométriques obtenues par monotonie le long du semi-groupe de la chaleur. Nous caractérisons, par la plupart d'entre elles, les cas d'égalités et mettons en évidence des phénomènes de rigidité dans le cas de variétés riemanniennes. En particulier nous étudions la rigidité pour le théorème de comparaison isopérimétrique de Bakry-Ledoux en utilisant leur preuve par flot de la chaleur. Cette preuve a été exploitée par Mossel et Neeman pour obtenir un résultat de stabilité robuste dans le cas gaussien. Nous reprenons cette preuve et nous la simplifions, en particulier en éliminant la plupart des arguments spécifiques au cas gaussien. Cela laisse espoir d'obtenir une version quantitative pour des mesures log-concaves plus générales ou sur les sphères euclidiennes de grandes dimensions. La deuxième partie est consacrée à l'analyse des fonctions booléennes. Le résultat principal de cette partie est l'extension d'un critère dû à Benjamini, Kalai et Schramm liant sensibilité au bruit et influences d'une fonction booléenne. Ce critère a été récemment étendu sur l'espace gaussien à travers le concept d'influences géométriques. En particulier, nous donnons une nouvelle preuve quantitative de ce résultat, basée sur des arguments de semi-groupes. Le résultat ainsi obtenu s'étend à des modèles de graphes de Schreier plus généraux que le cube ainsi qu'à des modèles continus autre que l'espace gaussien. En particulier, la version quantitative sur les tranches du cube booléen a des conséquences en théorie de la percolation. Dans une dernier chapitre, nous mettons en lien ce critère quantitatif pour donner une généralisation à des graphes produits du théorème "Junta" de Friedgut.

Sous la direction du :
Directeur de thèse
Ledoux, Michel
Ecole doctorale:Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)
laboratoire/Unité de recherche :Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219
Mots-clés libres :Influences - Stabilité au bruit - Isopérimétrie - Flot de la chaleur
Sujets :Mathématiques
Déposé le :20 Jan 2017 17:53