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Brault, Antoine. Flots rugueux et inclusions différentielles perturbées

Brault, Antoine (2018). Flots rugueux et inclusions différentielles perturbées.

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Résumé en francais

Cette thèse est composée de trois chapitres indépendants ayant pour thématique commune la théorie des trajectoires rugueuses. Introduite en 1998 par Terry Lyons, cette approche trajectorielle des équations différentielles stochastiques (EDS) permet l'étude d'EDS dirigées par des processus n'ayant pas la propriété de semi-martingale nécessaire à l'application du cadre de l'intégration d'Itô. C'est par exemple le cas du mouvement brownien fractionnaire pour un indice de Hurst différent d'un demi. Le premier chapitre porte sur les liens entre la théorie des trajectoires rugueuses et celle des structures de régularité qui a été récemment introduite par Martin Hairer pour résoudre une large classe d'équations aux dérivées partielles stochastiques. Nous exposons, avec les outils de cette nouvelle théorie, la définition de l'intégrale rugueuse et de la signature d'une trajectoire irrégulière, ce qui nous mène à la résolution d'équations différentielles rugueuses (EDR). Dans le second chapitre, nous nous intéressons à la construction de flots d'EDR à partir de leurs approximations en temps petit, appelées presque flots. Nous montrons que sous des conditions faibles de régularité du presque flot, bien que l'unicité des solutions de l'EDR associée ne soit plus assurée, il est possible de sélectionner un flot mesurable. Notre cadre général unifie les précédentes approches par flot dues à I. Bailleul, A. M. Davie, P. Friz et N. Victoir. Le dernier chapitre s'attache à l'étude d'une inclusion différentielle perturbée par une trajectoire rugueuse, c'est-à-dire d'une EDR dont la dérive est une fonction multivaluée. Nous démontrons, sans hypothèse de convexité et avec différentes conditions de régularité sur la dérive, l'existence de solution.

Sous la direction du :
Directeur de thèse
Coutin, Laure
Lejay, Antoine
Ecole doctorale:Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)
laboratoire/Unité de recherche :Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219
Mots-clés libres :Trajectoires rugueuses - Equations différentielles rugueuses - Approximations de flots - Flots mesurables - Flots lipschitz - Inclusions différentielles
Sujets :Mathématiques
Déposé le :09 Jan 2019 14:59