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Dinh, Van Duong. Strichartz estimates and the nonlinear Schrödinger-type equations

Dinh, Van Duong (2018). Strichartz estimates and the nonlinear Schrödinger-type equations.

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Résumé en francais

Cette thèse est consacrée à l'étude des aspects linéaires et non-linéaires des équations de type Schrödinger [ i partial_t u + |nabla|^sigma u = F, quad |nabla| = sqrt {-Delta}, quad sigma in (0, infty).] Quand $sigma = 2$, il s'agit de l'équation de Schrödinger bien connue dans de nombreux contextes physiques tels que la mécanique quantique, l'optique non-linéaire, la théorie des champs quantiques et la théorie de Hartree-Fock. Quand $sigma in (0,2) backslash {1}$, c'est l'équation Schrödinger fractionnaire, qui a été découverte par Laskin (voir par exemple cite{Laskin2000} et cite{Laskin2002}) en lien avec l'extension de l'intégrale de Feynman, des chemins quantiques de type brownien à ceux de Lévy. Cette équation apparaît également dans des modèles de vagues (voir par exemple cite{IonescuPusateri} et cite{Nguyen}). Quand $sigma = 1$, c'est l'équation des demi-ondes qui apparaît dans des modèles de vagues (voir cite{IonescuPusateri}) et dans l'effondrement gravitationnel (voir cite{ElgartSchlein}, cite{FrohlichLenzmann}). Quand $sigma = 4$, c'est l'équation Schrödinger du quatrième ordre ou biharmonique introduite par Karpman cite{Karpman} et par Karpman-Shagalov cite{KarpmanShagalov} pour prendre en compte le rôle de la dispersion du quatrième ordre dans la propagation d'un faisceau laser intense dans un milieu massif avec non-linéarité de Kerr. Cette thèse est divisée en deux parties. La première partie étudie les estimations de Strichartz pour des équations de type Schrödinger sur des variétés comprenant l'espace plat euclidien, les variétés compactes sans bord et les variétés asymptotiquement euclidiennes. Ces estimations de Strichartz sont utiles pour l'étude de l'équations dispersives non-linéaire à régularité basse. La seconde partie concerne l'étude des aspects non-linéaires tels que les caractères localement puis globalement bien posés sous l'espace d'énergie, ainsi que l'explosion de solutions peu régulières pour des équations non-linéaires de type Schrödinger. Dans le Chapitre 1, nous discutons des estimations de Strichartz pour les équations de type Schrödinger avec $sigma in (0, infty)$ sur l'espace euclidien $mathbb{R}^d $. Dans le Chapitre 2, nous prouvons des estimations de Strichartz pour les équations de type Schrödinger avec $sigma in (0, infty) backslash {1}$ sur $mathhbb{R}^d $ équipé d'une métrique lisse bornée $g$. Au Chapitre 3, nous utilisons les estimations de Strichartz prouvées au Chapitre 2 pour montrer les estimations de Strichartz pour les équations de type Schrödinger avec $sigma in (0, infty) backslash {1 }$ sur les variétés compactes sans bord. Au Chapitre 4, nous montrons des estimations de Strichartz globales pour les équations de type Schrödinger avec $sigma in (0, infty) backslash {1}$ sur les variétés asymptotiquement euclidiennes sous la condition de non-capture. Dans le Chapitre 5, nous utilisons les estimations de Strichartz données au Chapitre 1 (entre autres) pour étudier le caractère localement bien posé des équations non-linéaires de type Schrödinger avec la non-linéarité de type puissance et $sigma in (0, infty)$ posées sur $mathbb{R}^d$. Dans le Chapitre 6, nous étudions le le caractère globalement bien posé de l'équation de Schrödinger non-linéaire du quatrième ordre $sigma = 4$ défocalisante et $L^2$ critique, en considérant séparément deux cas $d = 4$ et $d geq 5$ qui correspondent respectivement à la non-linéarité algébrique et non-algébrique. Dans le Chapitre 7, nous étudions l'explosion des solutions peu régulières de l'équation de Schrödinger non-linéaire du quatrième ordre focalisante $L^2$ critique. Comme au Chapitre 6, nous considérons aussi séparément deux cas $d = 4$ et $d geq 5$.

Sous la direction du :
Directeur de thèse
Bouclet, Jean-Marc
Ecole doctorale:Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)
laboratoire/Unité de recherche :Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219
Mots-clés libres :Équations non-linéaires de type Schrödinger - Estimations de Strichartz - Problème localement bien posé - Problème globalement bien posé - Explosion - Méthode-I - Estimations bilinéaires de Strichartz - Inégalités d'interaction de Morawetz - Variétés compactes sans bord - Variétés asymptotiquement euclidiennes
Sujets :Mathématiques
Déposé le :14 Mar 2019 13:30