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Durighetto, Sara. Géométrie birationnelle : classique et dérivée

Durighetto, Sara (2019). Géométrie birationnelle : classique et dérivée.

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Résumé en francais

Dans le cadre de la géométrie algébrique, l'étude des transformations birationnelles et des leurs proprietés jouent un rôle déterminant. Ou bien par l'approche classique de l'école italienne qui met l'accent sur le groupe de Cremona, ou bien par une approche plus moderne qui utilise des objets comme les catégories dérivées et leurs décompositions semiorthogonales. Le groupe de Cremona Crn, notamment le groupe des automorphismes birationnels du Pn, est en general peu connu notamment on travaille principalement sur le corp complexe. On connait un ensemble des générateurs seulement pour n = 2. On ne connait pas une classification des courbes et systemes linéaires de P2 pour transformations de Cremona. Un exemple des résultats qu'il y a est la caractérisation de la contractibilité des courbes irreductibles et des courbes obtenues par union des deux components irreductibles. Le but de cette thèse est de s'approcher en cas d'une configuration de droites dans P2. Le théorème final fournit les conditions nécessaires ou suffisantes à la contractibilité. En termes catégoriels, les décompositions semiorthogonales de la catégorie dérivée d'une variété fournissent des invariants pour étudier la variété. En s'inspirant de l'approche de Clemens-Griffiths sur la cubique complexe en dimension 3, on veut caractériser les obstructions à la rationalité d'une variété de dimension n. L'idée est de pouvoir isoler les composantes qui ne sont pas équivalentes à la catégorie dérivée d'une variété de dimension au plus n - 2 et, de cette façon, définir ce que l'on appelle la composante de Griffiths-Kuznetsov. Dans cette thèse on étude le cas des surfaces sur un corps arbitraire, on définit de telles composantes et on démontre qu'elles donnent un invariant birationnel. On peut voir aussi que la composante de Griffiths-Kuznetsov est nulle si et seulement si la surface est rationnelle.

Sous la direction du :
Directeur de thèse
Bernardara, Marcello
Mella, Massimiliano
Ecole doctorale:Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)
laboratoire/Unité de recherche :Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219
Mots-clés libres :Géométrie birationnelle - Cremona équivalence - Catégories dérivées
Sujets :Mathématiques
Déposé le :05 Sep 2019 15:52