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Derennes, Pierre. Mesures de sensibilité de Borgonovo : estimation des indices d'ordre un et supérieur, et application à l'analyse de fiabilité

Derennes, Pierre (2019). Mesures de sensibilité de Borgonovo : estimation des indices d'ordre un et supérieur, et application à l'analyse de fiabilité.

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Résumé en francais

Dans de nombreuses disciplines, un système complexe est modélisé par une fonction boîte noire dont le but est de simuler le comportement du système réel. Le système est donc représenté par un modèle entrée-sortie, i.e, une relation entre la sortie Y (ce que l'on observe sur le système) et un ensemble de paramètres extérieurs Xi (représentant typiquement des variables physiques). Ces paramètres sont usuellement supposés aléatoires pour prendre en compte les incertitudes phénoménologiques inhérentes au système. L'analyse de sensibilité globale joue alors un rôle majeur dans la gestion de ces incertitudes et dans la compréhension du comportement du système. Cette étude repose sur l'estimation de mesures d'importance dont le rôle est d'identifier et de classifier les différentes entrées en fonction de leur influence sur la sortie du modèle. Les indices de Sobol, dont l'objectif est de quantifier la contribution d'une variable d'entrée (ou d'un groupe de variables) à la variance de la sortie, figurent parmi les mesures d'importance les plus considérées. Néanmoins, la variance est une représentation potentiellement restrictive de la variabilité du modèle de sortie. Le sujet central de cette thèse porte sur une méthode alternative, introduite par Emanuele Borgonovo, et qui est basée sur l'analyse de l'ensemble de la distribution de sortie. Les mesures d'importance de Borgonovo admettent des propriétés très utiles en pratique qui justifient leur récent gain d'intérêt, mais leur estimation constitue un problème complexe. En effet, la définition initiale des indices de Borgonovo fait intervenir les densités inconditionnelles et conditionnelles de la sortie du modèle, malheureusement inconnues en pratique. Dès lors, les premières méthodes proposées menaient à un budget de simulation élevé, la fonction boite noire pouvant être très coûteuse à évaluer. La première contribution de cette thèse consiste à proposer de nouvelles méthodologies pour estimer les mesures d'importance de Borgonovo du premier ordre, i.e, les indices mesurant l'influence de la sortie Y relativement à une entrée Xi scalaire. Dans un premier temps, nous choisissons d'adopter la réinterprétation des indices de Borgonovo en terme de mesure de dépendance, i.e, comme une distance entre la densité jointe de Xi et Y et la distribution produit. En outre, nous développons une procédure d'estimation combinant échantillonnage préférentiel et approximation par noyau gaussien de la densité de sortie et de la densité jointe. Cette approche permet de calculer l'ensemble des indices de Borgonovo d'ordre 1, et ce, avec un faible budget de simulation indépendant de la dimension du modèle. Cependant, l'utilisation de l'estimation par noyau gaussien peut fournir des estimations imprécises dans le cas des distributions à queue lourde. Pour pallier ce problème, nous nous appuyons dans un second temps sur une autre définition des indices de Borgonovo reposant sur le formalisme des copules. Cette démarche permet de se soustraire au cas des distributions à queue lourde puisqu'elle repose sur l'estimation d'une densité de copule bivariée à support borné. Par ailleurs, l'estimation par noyau gaussien pouvant souffrir d'effets de bord, nous choisissons d'estimer cette densité de copule via la méthode du maximum d'entropie. Les deux méthodologies proposées sont appliquées et comparées sur un exemple concret aérospatial. La seconde contribution de cette thèse s'inscrit dans le contexte de l'analyse de sensibilité fiabiliste. Là où l'analyse de sensibilité classique se focalise sur la sortie du modèle, l'approche fiabiliste s'intéresse au système dans un mode de fonctionnement critique, typiquement une défaillance associée à un état non sécurisé et donc indésirable. On distingue deux méthodes complémentaires d'analyse de sensibilité fiabilistes : celles visant à étudier l'impact d'une variable d'entrée sur une fonction de la sortie, telle que la fonction indicatrice du domaine critique, et celles visant à étudier l'influence d'une entrée conditionnellement à l'évènement de défaillance. Dans cette partie, nous définissons deux indices de sensibilité fiabilistes liés à ces méthodes et intrinsèquement liés aux indices de Borgonovo traditionnels. Nous montrons que ces deux mesures peuvent être simultanément estimées à partir d'un échantillon commun donné par exemple par un algorithme de Monte-Carlo séquentiel, un des plus utilisés dans le cadre de l'analyse de fiabilité. Enfin, la dernière contribution de cette thèse concerne l'estimation des indices de Borgonovo d'ordres supérieurs, i.e, affiliés à un groupe de paramètres d'entrée, ce qui rentre dans le cadre de l'estimation de densité multidimensionnelle. Cette estimation peut théoriquement être réalisée avec les méthodes mentionnées précédemment. Toutefois, celles-ci souffrent de problèmes numériques lorsque la dimension du problème augmente. Cet effet néfaste de la dimension est connu sous le nom de malédiction de la dimension. Pour autant, nous montrons que ce problème peut être surmonté grâce à la théorie des copules vignes. Par ailleurs, il semble nécessaire de synthétiser l'information fournie par l'ensemble des indices de Borgonovo, leur nombre grandissant rapidement avec la dimension du modèle. Pour répondre à ce besoin, nous considérons la notion de valeur de Shapley initialement introduite en théorie des jeux. Nous montrons que cela permet de définir des indices de sensibilité qui facilitent l'interprétation des indices de Borgonovo d'ordres supérieurs et qui peuvent être calculés par simple post-traitement une fois l'ensemble des indices de Borgonovo estimés.

Sous la direction du :
Directeur de thèse
Morio, Jérôme
Simatos, Florian
Ecole doctorale:Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)
laboratoire/Unité de recherche :Modélisation et Ingénierie des Systèmes (MOIS) ISAE/ONERA
Mots-clés libres :Analyse de sensibilité globale - Mesures d'importance de Borgonovo - Estimation de densité - Analyse de fiabilité - Théorie des copules
Sujets :Mathématiques
Déposé le :17 Oct 2019 13:33