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Pippi, Massimo. Catégories des singularités, factorisations matricielles et cycles évanescents

Pippi, Massimo (2020). Catégories des singularités, factorisations matricielles et cycles évanescents.

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Résumé en francais

Le but de cette thèse est d'étudier les dg-catégories de singularités Sing(X, s), associées à des couples (X, s), où X est un schéma et s est une section d'un fibré vectoriel sur X. La dg-catégorie Sing(X, s) est définie comme le noyau du dg foncteur de Sing(X0) vers Sing(X) induit par l'image directe le long de l'inclusion du lieu de zéros (dérivé) X0 de s dans X. Dans une première partie, nous supposons que le fibré vectoriel est trivial de rang n. On démontre alors un théorème de structure pour Sing(X, s) dans le cas où X = Spec(B) est affine. Cet énoncé affirme que tout objet de Sing(X, s) est représenté par un complexe de B-modules concentré dans n+1 degrés. Lorsque n = 1, cet énoncé généralise l'équivalence d'Orlov , qui identifie Sing(X, s) avec la dg-catégorie des factorisations matricielles MF(X, s), au cas où s epsilon OX(X) n'est pas nécessairement plat. Dans une seconde partie, nous étudions la cohomologie l-adique de Sing(X, s) (définie par A. Blanc - M. Robalo - B. Toën and G. Vezzosi), où s est une section globale d'un fibré en droites. Pour cela, on introduit le faisceau l-adique des cycles évanescents invariantes par monodromie. En utilisant un théorème de D. Orlov généralisé par J. Burke et M. Walker, on calcule la réalisation l-adique de Sing(Spec(B), (f1 ,..., fn)) pour (f1 ,..., fn) epsilon Bn. Dans le dernier chapitre, nous introduisons les faisceaux l-adiques des cycles évanescents itérés pour un schéma sur un anneau de valuation discrète de rang 2. On relie ces faisceaux l-adiques à la réalisation l-adique des dg catégories de singularités des fibres prises sur certains sous-schémas fermés de la base.

Sous la direction du :
Directeur de thèse
Toën, Bertrand
Vezzosi, Gabriele
Ecole doctorale:Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)
laboratoire/Unité de recherche :Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219
Mots-clés libres :Géométrie algébrique dérivée - Géométrie non-commutative - Cycles évanescents - dg-catégories des singularités - Factorisations matricielles - Réalisations motivique et l-adique des dg-catégories
Sujets :Mathématiques
Déposé le :07 Oct 2020 14:19