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Wembe, Boris. Méthodes géométriques et numériques en contrôle optimal et problèmes de Zermelo sur les surfaces et révolution : applications

Wembe, Boris (2021). Méthodes géométriques et numériques en contrôle optimal et problèmes de Zermelo sur les surfaces et révolution : applications.

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Résumé en francais

Ce travail étudie les problèmes de Zermelo sur les surfaces de révolution du point de vue du contrôle optimal dans le cadre hamiltonien en combinant des méthodes dites géométriques et numériques. Il est motivé par plusieurs cas d'études notamment l'exemple historique de Carathéodory-Zermelo qui est l'un des problèmes fondateurs du calcul des variations et une forme normale intéressante pour l'analyse microlocale du problème dans le cas général, ainsi que le problème dit "du vortex" qui est une application récente provenant de l'hydrodynamique et qui décrit l'évolution d'une particule passive autour d'un point vortex. Le problème de Zermelo ainsi considéré est déterminé par un triplet (M, g, F0) où M est une variété de dimension 2 avec des coordonnées normales q = (r,thêta), g une métrique riemannienne sur M et F0 un champ de vecteur définissant le courant (ou le vent). Du point de vue du contrôle optimal, ce problème correspond à un problème de transfert en temps minimal entre deux points q0 et q1 pour un système de contrôle affine de la forme : q = F0(q) + u1 F1(q) + u2 F2(q), ‖u‖ <= 1 où q(t) ∈ M , u = (u1, u2) est le contrôle et où les champs F1, F2 forment un repère orthonormé associé à la métrique g. Ce type de problème apparaît déjà en géométrie riemannienne avec F0(q) ≡ 0 et en géométrie finslérienne dans le cas dit faible où la norme du courant (associé à la métrique g) est < 1. L'objectif principal de cette étude est de construire une synthèse optimale dans un voisinage adapté R qui est un rectangle contenant le point initial q0. Cette objectif se résume dans l'étude de la régularité et la description des lignes de (sous)-niveaux, correspondant aux boules dites zerméliennes, de la fonction temps minimale Vq0 (q1) := inf {tf | q(tf,q0) = q1, où (q,u) est solution du problème}. La principale difficulté de cette analyse réside dans l'existence de directions anormales dans le cas d'un courant fort (c'est-à-dire le cas où la norme du courant est > 1), celles-ci étant associées aux situations nouvelles telles que : la perte de contrôlabilité locale en q0, la discontinuité de la fonction temps minimale, la déformation des petites sphères et boules, l'apparition de nouvelles branches dans le lieu de coupure (lieu où les trajectoires perdent leur optimalité), etc. Notre analyse est principalement basée sur deux points de vue. Le premier point de vue est le point de vue de Carathéodory, équivalent à la transformée de Goh en contrôle. Il permet de réécrire le problème comme un système de contrôle affine et scalaire en dimension 3 et d'utiliser des outils géométriques de ce cadre pour calculer les lieux conjugué et de coupure en lien avec l'optimalité locale et globale des solutions. Le second point de vue est le point de vue système mécanique qui permet d'écrire le problème à l'aide d'un potentiel généralisé et d'utiliser la relation de Clairaut pour intégrer le flot et classifier les trajectoires suivant une méthode de classification appelée GMR (generalized Morse-Reeb) qui généralise la classification de Morse-Reeb en système dynamique. Dans ce contexte, nous introduisons les concepts de feuilletage de Reeb, composante de Reeb, géodésique séparatrice qui sépare en différente classe le flot géodésique. Un accent particulier est ensuite mis sur l'étude du problème vortex qui peut être vue comme un modèle réduit du problème de Kepler, mais avec un courant orthoradial. Dans ce cas, on établit un résultat d'existence de solution optimale et on construit la synthèse du problème.

Sous la direction du :
Directeur de thèse
Cots, Olivier
Gergaud, Joseph
Ecole doctorale:Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)
laboratoire/Unité de recherche :Institut de Recherche en Informatique de Toulouse (IRIT), UMR 5505
Mots-clés libres :Contrôle optimal géométrique - Problèmes de navigation de Zermelo sur les surfaces de révolution - Géométrie riemannienne et finslérienne - Courant faible/fort - Géodésiques anormales - Synthèse optimale - Lieux conjugués et de coupure - Classification de Morse-Reeb - Problème un vortex - Méthodes numériques en contrôle optimal
Sujets :Mathématiques
Déposé le :10 Dec 2021 12:51