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Prod'Homme, Maxime. Contributions au problème du transport optimal et à sa régularité

Prod'Homme, Maxime (2021). Contributions au problème du transport optimal et à sa régularité.

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Résumé en francais

Cette thèse s'intéresse au problème du transport optimal, en particulier aux propriétés de régularité d'une fonction réalisant un tel transport. La première partie de ce manuscrit donne une nouvelle démonstration du théorème de contraction de Caffarelli, selon lequel le transport optimal de la gaussienne sur une mesure ayant une densité uniformément log-concave par rapport à la gaussienne est 1-Lipschitz. Au contraire des précédentes preuves de ce résultat, la stratégie employée ici s'appuie directement sur le problème de minimisation, ou plus précisément sur une régularisation entropique du transport optimal et une caractérisation variationnelle de la propriété Lipschitz du transport optimal démontrée par Gozlan et Juillet. La deuxième partie étend l'approche variationnelle proposée par Goldman et Otto, permettant de prouver la régularité partielle de fonctions de transport optimales, à des fonctions de coût générales. La principale nouveauté est l'introduction, dans le contexte du transport optimal, de la notion de quasi-minimalité déjà bien établie dans le domaine des surfaces minimales. On montre en effet qu'un plan de transport optimal pour un coût proche du coût quadratique est quasi-optimal pour le coût quadratique, permettant alors résoudre le problème posé par l'absence d'équivalence de Benamou-Brenier pour un coût quelconque. Enfin, on obtient dans la troisième et dernière partie une estimation optimale de la vitesse de convergence, en distances de Wasserstein W1 et W2, de la mesure spectrale empirique de matrices de Ginibre vers la loi circulaire. Ceci s'appuie sur une estimation des fluctuations du nombre de points dans un domaine, grâce à la structure déterminantale du processus de points, et une construction itérative de mesures intermédiaires, de l'échelle microscopique à l'échelle macroscopique, permettant de relier distance W2 et variance du nombre de points.

Sous la direction du :
Directeur de thèse
Fathi, Max
Otto, Felix
Ecole doctorale:Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)
laboratoire/Unité de recherche :Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219
Mots-clés libres :Transport optimal - Régularité partielle - Monge-Ampère - Matrices aléatoires - Ensemble de Ginibre
Sujets :Mathématiques
Déposé le :10 Dec 2021 14:37