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Dus, Mathias. Problèmes de stabilisation au bord pour des systèmes d'équations aux dérivées partielles hyperboliques en dimension un d'espace

Dus, Mathias (2021). Problèmes de stabilisation au bord pour des systèmes d'équations aux dérivées partielles hyperboliques en dimension un d'espace.

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Résumé en francais

Dans cette thèse, nous étudions le problème de stabilisation au bord de systèmes généraux d'équations aux dérivées partielles hyperboliques. Plus précisément, l'étude se focalise sur des systèmes où le transport est uniquement scalaire et où le sens de propagation de l'information est fixé. En outre, le contrôle choisi sera la plupart du temps sous la forme d'une loi de retour d'état (ou feedback) linéaire que l'on perturbera éventuellement par l'effet d'une saturation. Le travail est séparé en deux parties bien distinctes ; l'une se concentre sur des méthodes de Lyapunov, tandis que l'autre va plutôt utiliser des techniques propres au linéaire. Pour la première partie, deux travaux principaux sont présentés. Dans un premier temps, nous ne considérons que des équations de transport linéaires à vitesses positives et cherchons à stabiliser exponentiellement le système dans L8 grâce à un feedback linéaire saturé. La méthode consiste à utiliser des techniques classiques de Lyapunov afin d'exhiber un bassin d'attraction et d'en donner une estimation fine. On généralise ensuite ce travail dans un cadre BV pour les systèmes de lois de conservation scalaires couplées au bord. Secondement, un système de lois de conservation scalaires à vitesses positives est discrétisé en utilisant un schéma à limiteur de pente. En s'inspirant des méthodes issues du cadre continu, une fonctionnelle de Lyapunov discrète est étudiée pour prouver la stabilisation exponentielle BV par feedback linéaire de la solution discrète. Pour la seconde partie, deux études sont également exposées mais cette fois-ci, dans un cadre totalement linéaire. D'une part, il s'agit d'établir la possibilité de construire un feedback issu d'un placement de pôles pour stabiliser exponentiellement des edps hyperboliques linéaires avec couplage au bord et dans le domaine. D'autre part, nous développons une théorie du backstepping discrétisé pour stabiliser en temps fini un schéma numérique modélisant un système 2 × 2 avec couplage au bord et au sein du domaine.

Sous la direction du :
Directeur de thèse
Boyer, Franck
Ferrante, Francesco
Ecole doctorale:Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)
laboratoire/Unité de recherche :Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219
Mots-clés libres :Stabilisation - Équations de transport - Backstepping - Saturation - Schémas numériques
Sujets :Mathématiques
Déposé le :18 Jan 2022 10:03