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Huguin, Valentin. Étude algébrique des points périodiques et des multiplicateurs d'une fraction rationnelle

Huguin, Valentin (2021). Étude algébrique des points périodiques et des multiplicateurs d'une fraction rationnelle.

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Résumé en francais

Dans cette thèse, nous examinons plusieurs questions arithmétiques concernant les points périodiques et les multiplicateurs d'une fraction rationnelle. Nous étudions l'ensemble des paramètres complexes c pour lesquels deux points donnés a et b sont simultanément prépériodiques pour le polynôme f_c(z) = z^2 +c. En combinant des arguments d'analyse complexe et de théorie des nombres, Baker et DeMarco ont montré que cet ensemble de paramètres est infini si et seulement si a^2 = b^2. Récemment, Buff a répondu à une de leurs questions, en prouvant que l'ensemble des paramètres c pour lesquels 0 et 1 sont tous deux prépériodiques pour f_c est égal à {-2, -1, 0}. Nous complétons la description de ces ensembles quand a et b sont deux entiers tels que |a| ≠ |b|. Nous examinons également une conjecture de Milnor concernant les fractions rationnelles dont le multiplicateur en chaque cycle est entier. Nous montrons que la conjecture est vraie dans le cas des polynômes cubiques avec symétries, en prouvant que tout polynôme cubique avec symétries dont tous les multiplicateurs sont entiers est soit une application puissance soit une application de Tchebychev. Nous étudions aussi certaines généralisations de la question de Milnor. Ainsi, nous montrons que tout polynôme unicritique qui n'a que des multiplicateurs rationnels est soit une application puissance soit une application de Tchebychev. Nous prouvons également que toute fraction rationnelle quadratique dont tous les multiplicateurs sont dans l'anneau des entiers d'un corps quadratique imaginaire donné est une application puissance, une application de Tchebychev ou un exemple de Lattès. Nous sommes ainsi amenés à étudier les points périodiques et les multiplicateurs d'une fraction rationnelle d'un point de vue algébrique avec les notions de polynômes dynatomiques et de polynômes multiplicateurs. Nous examinons aussi certaines propriétés de ces polynômes, et notamment les coefficients des polynômes multiplicateurs d'une fraction rationnelle.

Sous la direction du :
Directeur de thèse
Buff, Xavier
Raissy, Jasmin
Ecole doctorale:Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)
laboratoire/Unité de recherche :Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219
Mots-clés libres :Dynamique arithmétique - Dynamique complexe - Théorie des nombres
Sujets :Mathématiques
Déposé le :04 Feb 2022 11:01