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Mehidi, Sara. Prolongements des torseurs via les log schémas

Mehidi, Sara (2021). Prolongements des torseurs via les log schémas.

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Résumé en francais

Soit R un anneau de valuation discrète, de corps de fractions K et de corps résiduel k de caractéristique p > 0. Étant donné un K-schéma en groupes fini plat et commutatif G et une K-courbe lisse et projective C munie d'un point rationnel, on étudie dans cette thèse le prolongement des G-torseurs fppf pointés sur C en torseurs pointés sur un R-modèle régulier de la courbe sur R. Comme on sait que le problème n'a pas toujours de solution dans la catégorie des torseurs fppf, on cherche une solution dans une catégorie plus large, à savoir celle des torseurs logarithmiques. On montre en particulier que le prolongement d'un G-torseur fppf en un torseur log plat se ramène à trouver un R-modèle fini et plat de G, pour lequel un certain morphisme de schémas en groupes dans la Jacobienne J de la courbe se prolonge sur le modèle de Néron de cette dernière. En supposant cette condition satisfaite, on retrouve un critère déjà bien connu de la littérature pour qu'un prolongement fppf existe. Dans un second temps, en généralisant un résultat de Chiodo, on donne un critère pour que le sous-groupe de r-torsion du modèle de Néron de la Jacobienne soit fini et plat sur R. En particulier, cela fournit des exemples intéressants de schémas en groupes commutatifs pour lesquels le critère de notre théorème principal s'applique. Enfin, la dernière partie de cette thèse est consacrée à l'étude d'exemples de prolongements de torseurs. On se donne une courbe hyperelliptique sur Q, dépendant d'un nombre premier p, et dont la Jacobienne contient un sous-groupe isomorphe à (Z/pZ)². Cette dernière propriété implique la donnée d'un mu²p-torseur sur la courbe. On construira pour commencer un modèle régulier de la courbe au-dessus de Zl, pour un certain nombre premier l. Ensuite, on se demandera si le torseur précédent se prolonge sur ce modèle. Pour différentes valeurs de l, on traitera différents exemples qui donneront dans certains cas un prolongement fppf du torseur initial et dans d'autres, un prolongement logarithmique ne provenant pas d'un torseur fppf.

Sous la direction du :
Directeur de thèse
Gillibert, Jean
Tossici, Dajano
Ecole doctorale:Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)
laboratoire/Unité de recherche :Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219
Mots-clés libres :Schémas - Schémas en groupes - Torseurs - Courbes et modèles réguliers de courbes - Jacobienne de courbe et modèle de Néron de la Jacobienne
Sujets :Mathématiques
Déposé le :03 Mar 2022 10:33