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Cabral, Emmanuel Nicolas. Etude spectrale des processus stationnaires multidimensionnels et analyse en composantes principales dans le domaine des fréquences

Cabral, Emmanuel Nicolas (2010) Etude spectrale des processus stationnaires multidimensionnels et analyse en composantes principales dans le domaine des fréquences.

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Résumé en francais

Les méthodes statistiques multidimensionnelles ont connu ces dernières décennies des développements très importants tant au niveau théorique (notamment en statistique opératorielle) qu'au niveau des applications (comme, par exemple, le traitement des données fonctionnelles). L'approche dans le domaine des fréquences (et de son outil majeur la transformée de Fourier) permet notamment d'envisager le traitement de fonctions aléatoires et de processus stochastiques particuliers (stationnaires par exemple). Dans l'étude d'un phénomène aléatoire pouvant être modélisé par un processus p-dimensionnel (Xt)t epsilon T, où chaque Xt est à valeurs dans Cp, il peut être intéressant, d'une part, de bien maîtriser les outils spectraux associés à (Xt)t epsilon T et, d'autre part, dans un but de clarification, d'obtenir un processus q-dimensionnel (q<p) résumant le mieux possible (Xt)t epsilon T en un certain sens. Les méthodes permettant de résumer une fonction aléatoire continue stationnaire p-dimensionnelle, définie sur T = Z, R, [-pi, pi[ où, plus généralement, sur un groupe abélien localement compact existent, elles s'appuient sur un critère étroitement lié à la stationnarité, leur mise en œuvre est l'Analyse en Composantes Principales (ACP) de la mesure aléatoire associée à (Xt)t epsilon T. Cette ACP, appelée aussi ACP dans le domaine des fréquences de (Xt)t epsilon T, consiste en l'ACP de chacune des composantes spectrales de (Xt)t epsilon T. Nous pouvons présenter nos contributions en les quatre points suivants: (i)Premièrement, il est bien connu qu'à tout processus stationnaire, on peut lui associer différents outils spectraux tels que la mesure aléatoire, la mesure spectrale à valeurs projecteurs et un opérateur unitaire. Nous réalisons alors un travail de synthèse sur les produits tensoriel et de convolution de mesures aléatoires et spectrales. Cet investissement permet de répondre, dans la pratique, à des problèmes d'interpolation, d'identification de processus spatial ou encore de transformations de Fourier inverses. (ii)Deuxièmement, étant donné un processus stationnaire périodique, on s'intéresse à la spécificité de ses outils spectraux. Nous définissons une notion de quasi-périodicité et quantifions la proximité entre les mesures aléatoires associées à un processus quasi-périodique et sa version périodique. Nous étudions alors la proximité des ACP, dans le domaine des fréquences, correspondantes. (iii)Ensuite, nous nous intéressons, en troisième lieu, aux outils spectraux associés à un processus cyclostationnaire et, particulièrement, à la mesure aléatoire associée. De plus, nous nous intéressons au produit tensoriel de processus cyclostationnaires en étudiant les propriétés des outils spectraux associés. (iv)Enfin, nous avons porté une attention particulière sur les ACP, dans le domaine des fréquences, centrée et non centrée en établissant une relation explicite entre ces analyses. Quelques applications et perspectives sont proposées en guise de conclusion.

Sous la direction du :
Directeur de thèse
Boudou, Alain
Romain, Yves
Ecole doctorale:Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)
laboratoire/Unité de recherche :Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219
Mots-clés libres :Analyse en composantes principales - Fonction aléatoire stationnaire - Mesure aléatoire - Mesure spectrale Produit tensoriel - Convolution de mesures - Groupe Abélien localement compact - Cyclostationnarité - Opérateur unitaire - Quasi-périodicité
Sujets :Mathématiques
Déposé le :06 Sep 2010 16:35