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Bennoune, Mounir. Approximation numérique de quelques équations cinétiques préservant leurs asymptotiques fluides

Bennoune, Mounir (2009). Approximation numérique de quelques équations cinétiques préservant leurs asymptotiques fluides.

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Résumé en francais

Cette thèse est une contribution au développement de schémas numériques préservants l'asymptotique pour des équations cinétiques. Elle est constituée de deux parties. La première partie concerne le développement de schémas numériques pour des équations cinétiques de type Boltzmann, qui soient capables de préserver lors du passage au régime hydrodynamique la limite Euler ainsi que l'asymptotique Navier-Stokes compressible (qui n'est pas une limite). Notre stratégie consiste à réécrire l'équation cinétique de départ comme un système équivalent couplant une partie cinétique et une autre macroscopique, en utilisant une décomposition micro-macro de la fonction de distribution comme la somme de sa (maxwellienne) partie d'équilibre et une perturbation. Les simulations numériques sont réalisées sur le modèle BGK unidimensionnel, et ensuite généralisées pour ce même modèle à une dimension supérieure en vitesse. La deuxième partie porte sur la construction de schémas numériques préservant la limite de diffusion pour l'équation de Kac. Ce modèle unidimensionnel est plus simple que l'équation de Boltzmann. Néanmoins, il a la même structure quadratique tandis que les modèles utilisés précédemment sont seulement des opérateurs de relaxation. Par contre, contrairement à l'équation de Boltzmann la limite macroscopique non triviale correspondante au modèle de Kac est une équation de diffusion non linéaire. Cette partie contient aussi la construction d'une discrétisation déterministe de l'opérateur de Kac. Cette discrétisation est effectuée sur une nouvelle formulation plus simple et moins coûteuse de cet opérateur. Plusieurs simulations sont réalisées afin de valider cette discrétisation ainsi que le schéma préservant la limite de diffusion.

Sous la direction du :
Directeur de thèse
Lemou, Mohammed
Mieussens, Luc
Ecole doctorale:Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)
laboratoire/Unité de recherche :Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219
Mots-clés libres :Equation de Boltzmann - Equation BGK - Equations de Navier-Stokes compressible - Développement de Chapman-Enskog - Décomposition micro-macro - Equation de Kac - Limite de diffusion - Développement de Hilbert - Schémas préservant l'asymptotique
Sujets :Mathématiques
Déposé le :06 Oct 2010 17:00